Как ранее уже писал, и не устану повторять: математика не может предсказывать будущее.
Это описательная наука, аналогичная русскому языку или географии, позволяющая строить абстрактные, символические, числовые и геометрические модели по прошлым данным.
Именно это и делает её царицей наук.
Суть Хомо Сапиенса, то чем он отличается от животных, в способности творить развитое, абстрактное мыслительное пространство, посредством символических образов.
Это его крест и карма. Всё остальное могут и животные.
Будущее, с той или иной степенью точности и вероятности, может предсказывать только человек, опираясь своим сознанием на устойчивые, повторяющиеся конструкции.
Разумеется, символ по определению не может быть абсолютно точен.
Он многозначен, и наиболее талантливые ученые - математики прошлого, понимая это, изобрели дифференциальное исчисление.
Естественно, сначала это напрочь отвергалось. Действительно, что за приколы в точной науке, как бесконечно малая величина или скорость в точке. Нонсенс.
Но этот нонсенс позволял делать вычисления и создавать модели нелинейных явлений, которые без этого невозможны.
Это было гениальное изобретение, поднявшее математику на уровень религиозных откровений.
Воспользуемся немного этим достижением и вспомним, что такое дифференциал.
По определению, дифференциал это главная часть приращения функции.
Не вся часть, а главная.
Рис.1.
Т.о. заменив нелинейную функцию дифференциалом или линией, мы можем с определённой степенью точности найти необходимую точку или решение.
Естественно, что подобная замена подойдёт не всегда.
Если кривая более или менее близка к прямой, то проблем с точностью решения не возникает.
Если же кривая сильно выгнута - вогнута, то результат будет очень косой.
Всё это я к тому, что когда мы пытаемся как-то определить, посчитать будущее, строя модели посредством линейного приближения, мы поступаем аналогично приблизительным вычислениям с помощью дифференциала.
И это подходит не всегда.
А можно нам как-нибудь подкрутить этот дифференциал, чтобы он был точнее?
Можно.
И вот английский математик, Брук Те́йлор, аж в 18 веке, придумал как разложить кривую в степенной ряд, максимально приближающий его к этой самой кривой.
Ну, или подкрутить этот самый дифференциал.
Это можно сделать, добавив к обычному дифференциалу, дифференциалы вторых, третьих и т.д. порядков, с определёнными биноминальными коэффициентами = 1/n!.
Углубляться в теорию я не буду, желающие могут почитать самостоятельно.
Я лишь приведу конечную формулу из «лечебника» по математике,
Рис.2.
И попытаюсь на пальцах объяснить, как это можно использовать, и зачем оно надо.
Суть в том, что находясь в точке = «y», и имея некоторые прошлые статистически данные, мы можем вычислить точку = «у+1», несколько точнее, чем просто с помощью линейного приближения.
Производная по определению равна:
f '(x) = Y1-Y0 / X1 – X0, разумеется это должно быть в пределе.
Естественно, что никакого предела у нас нет, и мы этим пренебрегаем.
Далее,
Y1-Y0 = f '(x) * (X1 – X0),
Но, X1 – X0, у нас =1, так как мы всё выражаем через обычный числовой ряд.
Следовательно,
Y1-Y0 = f '(x), или
Y1 = Y0 + f '(x).
Вот мы получили первую, линейную часть ряда Тейлора. Попали из точки Y0 в точку Y1, просто добавив значение производной.
Разумеется, у нас нет, и не может быть никакой производной, у нас ограниченный ряд данных, поэтому за значение производной мы принимаем угловой коэффициент линейного тренда, который проводим к нашему ряду данных.
По сути, это тоже, что и дифференциал.
Как нам получить остальные слагаемые.
Просто провести линейные тренды к приращению приращения; приращению приращения приращения. И т.д.
Т.о., в своей модели, мы учтём не только линейную аппроксимацию наших данных или скорость их изменения, но и ускорение, изменение ускорения, и т.д.
Поясню на избитом и исколотом примере Сбербанка.
Рис.3.
На рис.3, ряд данных по дивидендным возможностям Сбербанка.
Он совсем не напоминает прямую линию, а гораздо больше напоминает некую часть параболы. Поэтому линейное приближение по этим данным страдает значительной погрешностью.
Вместе с тем мы понимаем, что дивидендные возможности Сбербанка не будут в дальнейшем расти по кривой с геометрической прогрессией.
В связи с этим я использую различные модели, Zю-модель, аппроксимацию «первообразной» и т.д.
Всё это смотрим в этом посте.
http://fondmarket.ucoz.com/blog/sberbank_utochnenie_ocenok/2016-11-19-360
Как нам сделать еще один вариант модели, улучшив линейное приближение?
И вот теперь, воспользуемся идеей разложения в ряд Тейлора.
Рис.4.
На рис.4, в столбце 1, те же данные, что и на графике по дивидендным возможностям Сбербанка.
В столбце 2, изменение этих данных. (Из последующего числа вычитаем предыдущее).
В столбце 3, изменение данных столбца 2.
И т.д.
Т.о., мы получили не только изменение первого порядка, но и последующие.
Осталось к этим изменениям провести линейные тренды, узнать их угловые коэффициенты, и соорудить из них формулу Тейлора.
Угловой коэффициент данных первого столбца можно увидеть в формуле на графике, рис.3.
Коэфф.1 =0,4439.
По остальным, каждый может сделать самостоятельно, или поверить мне на слово.
Коэфф.2 = 0,3147.
Коэфф.3 = 0,1182.
Коэфф.4 = -0,0079.
Коэфф.5 =-0,614.
Теперь подставляем в формулу Тейлора.
= 0,4439 / 1! +0,3147 / 2! +0,1182 / 3! +(-0,0079 / 4!) +(-0,614 / 5!) = 0,6155
Результат = 0,6155.
На всякий случай напомню, что такое, допустим =4!
Это факториал = 1*2*3*4
Т.о. начальный угловой коэффициент линейного тренда у нас был =0,4439
А стал = 0,6155
Следовательно, по этой версии, дивидендные возможности Сбербанка стали прирастать на = 0,17 рубля в год быстрее.
Мы неплохо подкрутили линию, и это существенно повлияет на итоговую оценку.
Теперь возникла проблема.
Мы знаем новый угловой коэффициент. Но откуда его отсчитывать?
Варианты могут быть разные. Но самый логичный, вычислить центр вращения наших данных по дивидендным возможностям.
Для этого надо эти данные просуммировать нарастающим итогом, провести к ним линейный тренд и узнать его угловой коэффициент.
Рис.5.
Угловой коэффициент = 2,9414, и, примерно, соответствует точке = 2,92, за г13, на рис.3, дивидендных возможностей Сбербанка.
Т.о. можно строить новую линию, откладывая от точки =2,92, за 13 год, приращения =0,6155, со знаком «+» вверх, и со знаком «-» , вниз.
Рис.6.
На рис.6, мы видим две прямые линии. Одна – красная, простая линейная аппроксимация.
А, другая, синяя, подкрученная с помощью ряда Тейлора.
Думаю видно, что они существенно отличаются углом наклона.
Осталось продолжить эти линии в будущее, на 10 лет вперёд, и просуммировать результаты, с г16 по г25, дабы узнать и сравнить стоимость акций Сбербанка в двух вариантах, с простой аппроксимацией и улучшенной.
Рис.7.
Простая линейная аппроксимация даёт сумму ряда = 66 р.
А, подкрученная, = 75,3 р.
Разница существенная.
Т.о., учтя скорости и ускорения, мы приподняли дивидендную оценку Сбербанка почти на 10 р.
Заодно, можно всё это сравнить с результатами других оценок, опять же в посте:
http://fondmarket.ucoz.com/blog/sberbank_utochnenie_ocenok/2016-11-19-360
Результаты ложатся кучно, что свидетельствует об адекватности моделей.
Можно спросить, зачем столько геморра, когда цена Сбербанка в разы выше?
«Не корысти ради, а токмо волею пославшего мя!»
| 
