Открыв любой учебник или математический сайт, вы увидите нагромождения формул без их подробного смыслового разбора. Где умными и непонятными словами вам расскажут про различные свойства и следствия, а главным пунктом будет доказательство. Типа,

А +В = С, потому что, С - А = В. Попробуй, возрази.

И даже если вы осилите логику всех этих чудесных преобразований и превращений, научитесь решать предложенные однотипные задачи, то всё равно останетесь с чувством внутреннего непонимания.

И всё потому, что без разбора того как эти формулы создавалась их общего философского смысла всё впустую.

Поэтому начинать надо с базовых представлений. Они самые простые и одновременно самые сложные.

Сначала философия и общие материи. Так как в реальности разделить любое явление на случайную и закономерную составляющую проблематично, то условно принято считать, что нелинейные волнообразные процессы представляют случайность, а линейные и направленные процессы закономерность.

Т.о., моделировать случайную величину можно и обычной синусоидой, но это неудобно и модель не будет отвечать абстрактным теоретическим требованиям, главное из которых равенство единице суммы всех составляющих процесса.

Однако эта проблема легко решается, если мы будем использовать биноминальное распределение:

(p + q) ^n =1

Действительно, бином легко раскладывается в многочлен, сумма слагаемых которого равна единице, а размер слагаемых имеет нелинейный характер волны. Что удовлетворяет теоретическим требованиям.

В этом месте мы сделаем некоторое отступление, так как смысл разложения противоположных и несовместных событий посредством бинома не всегда понятен и обратимся к привычному примеру, который можно забегая вперёд, непривычно представить в виде кусочка формулы Пуассона.

Например.

У нас есть один орех. Вероятность что он пустой ( без ядра) равна 20%= 1/5.

Какова вероятность, что два ореха будут пустыми?

1/5* 1/5 = 1/25 =0,04

А если на нас с неба в бесконечном количестве продолжают падать орехи?

Какова вероятность найти все пустыми?

1/5* 1/5* 1/5* 1/5* ……..= (1/5) ^n

Аналогично получить нормальные:

4/5*4/5*4/5*4/5*……..= (4/5) ^n

Записываем в общих обозначениях.

Y(пустой) = (p) ^n

Y(полный) = (q) ^n

Но, p + q =1

Следовательно,

Y(пустой) = (1- q) ^n

Y(полный) = (1- p) ^n

Далее делаем ход конём. Проценты или доли, переводим в разы.

Например:

Имеем, 0,2 к 1. Умножаем на 10, и получаем 2 к 10.

Аналогично, 8 к 10.

Т.о., вводим новую переменную λ.

λ (пустой) = p*10 =2 , а p = λ/10= 2/10

λ (полный) = q *10 =8 , а q = λ/10= 8/10.

Следовательно, в общем виде:

Y(пустой) = (1- λ (полный)/ n ) ^n

Y(полный) = (1- λ (пустой)/ n ) ^n

Полученное выражение напоминает известную константу e = lim(1+1/ n) ^n.

К ней и приводим, заодно вспоминая главное свойство второго замечательного предела, которое в интернете и учебниках доказывается исключительно алгебраически, т.е. по смыслу совершенно неправильно.

Вам не скажут, что суть оперирования бесконечно малыми, предельными величинами в том, что функции деления и извлечения корня (умножения и степени) становятся равнозначными.

Вам скажут, что можно решить и доказать эту проблему алгебраически, посредством замены переменной.(Желающие, найдут это сами)

Мы воспользуемся прямой логикой.

limY(пустой) = lim (1- λ (полный)/ n ) ^n = lim (1+ 1/n ) ^ (n*(- λ (полный))

Если поделить дробь в скобках на «-λ (полный)», то это равнозначно возведению всего выражения в степень «-λ (полный)», что прямо следует из свойств предела и ничего доказывать не надо.

=> lim Y(пустой) = (lim ((1+ 1/n ) ^ n)) ^ (- λ (полный))

=>, lim Y(пустой) = e^ (- λ (полный))

Подводя итог:

Операцию поиска вероятностей для бесконечного потока орехов (пустых или полных) мы можем выразить через константу «e», и число благоприятных (неблагоприятных) событий, посредством кусочка формулы Пуассона.

lim Y(пустой) = e^ (- λ (полный)) , где λ – число событий в некой единичной выборке.

lim Y(полный) = e^ (- λ (пустой))

Говоря обычным языком, вероятность найти все орехи пустыми, падает по экспоненте в зависимости от роста вероятности появления нормальных орехов при их бесконечном потоке.

И, наоборот.

Естественно, что результаты вычислений по формуле Пуассона и обычным способом, будут отличаться друг от друга.

Но в пределе, т.е. при больших «n» они будут сходиться по абсолютным значениям.

Рис.1.

Теперь можно вернуться к биноминальному распределению.

Для этого надо изменить представления о процессе.

Выше мы предполагали бесконечный поток падающих на голову орехов, рассматривая вероятности двух сценариев.

Вероятность получить все орехи полные, либо все пустые.

Но ведь ими варианты не исчерпываются.

Поэтому была придумана «матрица» биноминального распределения, представляющая модель всех возможных независимых событий.

Начинаем сначала.

У нас есть один орех. Вероятность пустого / нормального 20/80. В сумме 20+80=1.

У нас есть два ореха. Каждый с аналогичной выше вероятностью пустой или нет.

Вытягиваем один орех из двух. Как выглядит матрица всех событий?

Рис.2

Всего четыре возможных исхода. Но так как они одинаковые для каждого ореха, коих два,

То = 4/2 =2. Те же: 20+80=1

Вытягиваем два ореха из двух.

В игру вступает комбинаторика.

Рис.3.

Можно получить четыре варианта развития событий. Два из них отличаются только перестановками. 0,2→0,8. При умножении вероятностей, порядок следования нам не важен, поэтому эти варианты можно объединить.

Итак: 0,2^2 + 2* 0,2*0,8 + 0,8^2 = 1

Мы получили бином второй степени, который охватывает вероятности всех различающихся между собой событий в сумме равный 1 и идеально соответствующий теоретической модели.

Для уверенности, продолжим тему ещё на один ход вперёд, для трёх орехов:

Рис.4.

Итого: 0,2^3 + 3* 0,2^2*0,8 + 3* 0,2*0,8 ^2 + 0,8^3 = 1

Получен бином третей степени, аналогичный предыдущему.

Итак, найден способ описать все возможные события в виде бесконечной матрицы биноминального распределения : (p+ q) ^ n =1

Запишем эту матрицу в общем виде.

Рис.5.

Разумеется, на картинке выше только три варианта, но мы можем бесконечно их продолжить, вправо и вниз. В результате этого продолжения число слагаемых многочлена будет расти до бесконечности, а величина каждого слагаемого, также бесконечно падать.

Ведь их сумма неизменна и равна 1.

Т.о., мы получили замечательную теоретическую модель, описывающую динамический процесс перетока вероятностей между двумя взаимоисключающими событиями, способную включить в себя все возможные варианты.

Кстати, наши рассмотренные выше примеры с бесконечным потоком орехов окажутся по краям матрицы.

С(3,3)*p^3* q^0 это тоже что и = p^3, так как С(3,3)=1, q^0 =1

С(0,3)*p^0* q^3 это тоже что и = q ^3, так как С(0,3)=1, р^0 =1

В общем виде каждое слагаемое нашей матрицы описывается аббревиатурой:

С(m,n)*p^m*q^(n-m)

Что и называется формулой Бернулли.

Р(m,n)= С(m,n)*p^m*q^(n-m)

На практике это выглядит так.

Какова вероятность, что три ореха из пяти окажутся пустыми при заданных выше 20/80?

Ищем в матрице наш вариант. Р(3,5)= С(3,5)* 0,2^3*0,8^(5-3)=10*0,008*0,64=0,0512

Не всегда у людей под рукой был exel. У Пуассона его точно не было.

Поэтому, чтобы можно было вычислять вероятности с факториалами и степенями высоких порядков, была придумана приблизительная формула, сходящаяся в пределе к нашим матричным значениям.

Как эта формула была состряпана?

Начнём с конца формулы Бернулли Р(m,n)= С(m,n)*p^m*q^(n-m)

→ q^(n-m)

Предполагается, что рассматривается случай, когда n –велико, а m –мало.

Например, два пустых ореха из миллиона.

Тогда q^(n-m), примерно =q^ n. (–m) – отбрасывается.

Далее это преобразуют по тому же сценарию, который я описал в начале.

Р(полный) = q^ n → Р(полный) = (1- p )^ n → Р(полный) = (1- λ (пустой)/ n )^ n

→ lim Р(полный) = e^ (-λ (пустой))

в нашем примере : lim Р(полный) = e^ (-2), так как 2 ореха из миллиона.

Теперь начало нашей формулы.

→ С(m,n) = n!/ m!( n- m)!

В нашем случае это = С(2,1000000)= 1000000! / 2!*999998!= 1000000*999999 / 2

Далее,

→ p^m

Совершаем привычный ход конём с переводом процентов в разы.

p * n =λ(пустой) → p = λ (пустой) / n ,

в нашем примере : p = 2 / 1000000

→ Р(пустой)= (λ (пустой) / n )^m,

в нашем примере : Р(пустой)= ( 2 / 1000000) ^2 =(2^ 2 ) / (1000000^2)

Теперь собираем всё вместе:

Р(m,n)= (1000000*999999 / 2 ) * (2^ 2 / 1000000^2) * (e^ (-2))

Следующее упрощение:

Считаем, что → 1000000*999999= 1000000^2= 1000000*1000000

→1000000*999999 / 1000000*1000000 = 1

Т.о., со всеми упрощениями наша формула обретает вид:

Р(2,1000000)= ((2^ 2) / 2) * (e^ (-2)) = 0,27067

Или в общем виде:

Р(λ)= ((λ ^ m) / m!) * (e^ (-λ))

Точно такой же результат как в примере выше, будет получен в exel по формуле

=ПУАССОН(2;2;ЛОЖЬ).

=0,270670566

В функцию exel Пуассон подставляем : х =2 , так как у нас два ореха.

Средняя = λ =2 , так как у нас вероятность в два пустых ореха на партию в миллион.

Та же самая операция при использовании биноминального распределения - функция =БИНОМРАСП(2;1000000;0,000002;ЛОЖЬ),

Даст =0,270670837

Как видим, погрешность ничтожна.

Если мы захотим узнать вероятность в партии = 3,4,5,6 пустых орехов.

То можем изобразить это графиком:

Рис. 6.

График получится если мы в функциях Пуассон и БИНОМРАСП, будем варьировать (2,3, 4,5,6) параметр «х» и «число успехов», соответственно.

Т.о., формальную часть я рассказал, но у всех остаётся глубокое недопонимание сути процесса.

А как же это оно так происходит?

Вроде, всё подробно и скучно рассказано. А всё равно непонятно. А в чём ускользающая идея, и т.д.

Всё потому, что в деталях утеряна общая картина, а основополагающая абстракция исчезла за алгебраической абракадаброй.

Поэтому возвращаемся к базовым понятиям.

Посредством биноминального распределения и его предельного варианта формулы Пуассона, мы моделируем поведение, или динамику случайной величины при её «перетоке» от одного независимого события к другому, в данном случае противоположному, в виде растущего числа комбинаций в сумме равных единице.

А за счёт чего это происходит?

Где та волшебная формула или структура, которая создаёт нам форму волны?

Это, разумеется, биноминальные коэффициенты.

Именно они, во всех формулах, значимые переменные, а, следовательно, создают нам волну.

Рис.7.

На рис.7, биноминальные к-нты.

В exel функции:

=ЧИСЛКОМБ(15;m), ЧИСЛКОМБ(14; m), ЧИСЛКОМБ(13; m)

Как они выглядят графически понятно, а каков механизм создания таких кривых.

Например, в биноме пятой степени.

Рис.8.

С биноминальным вариантом всё достаточно просто и наглядно. Чего не скажешь про формулу Пуассона, где понять, как получается волна, без подробного разбора, не получится.

И придётся это сделать.

Начнём с того, что формула Пуассона это не матрица, а лишь ряд данных с одной переменной.

Так как мы перешли к предельному сценарию, то вся таблица биноминального распределения сжалась в последнюю строчку с n→∞.

При этом переменная «n» исчезла, объединившись с вероятностью «p».

λ =p * n, «p» и «n» объединились в λ.

Так как λ у нас задаётся изначально, то остаётся одна переменная → m( в exel это «x»).

Биноминальные коэффициенты также приказали долго жить, преобразовавшись

в → (λ ^ m) / m!

И совсем непросто догадаться, как сумма всех результатов окажется равной единице.

Это ведь базовое условие для описания вероятностных процессов.

Чтобы разобраться, придётся вспомнить про треугольник Паскаля и разложение константы «e» в биноминальный ряд, ряд Маклорена или ряд Тейлора.

Лучше всего предварительно почитать это:

http://fondmarket.ucoz.com/blog/gljadja_iz_detskogo_sada_na_razlozhenie_v_rjad_tejlora/2017-04-15-387

Но основные моменты можно изложить заново, в приложении к текущей задаче.

Рис.9.

На рис. 9, сверху, матрица биноминальных коэффициентов. А снизу она же, только столбцы сдвинуты к верхнему краю.

Таким способом мы получили треугольник Паскаля, состоящий из биноминальных коэффициентов и обладающий интересными свойствами.

Каждое число в столбце равно сумме чисел в предыдущем столбце.

Число 10 в третьем ряду равно сумме = 1+2+3+4 во втором ряду..

И одновременно это С(2,5)=5*4 / 2!

Число 10 в четвёртом ряду равно сумме = 1+3+6 в третьем ряду.

И одновременно это С(3,5)=5*4*3 / 3!

И т.д.

Из этого следует, что наши биноминальные коэффициенты, в каждом столбце и в предельном виде, мы можем представить:

Х^2/ 2! , Х^3/ 3!, Х^4/ 4! и т.д.

При n→∞, 1000*1001/ 2! = 1000^2 / 2!

Тот же приём, что и в формуле Пуассона, в результате которого, за счёт предельного перехода, у нас «сжимается» матрица биноминальных коэффициентов.

С(3,5), С(3,6), С(3,7) → = Х^3/ 3!

С(4,5), С(4,6), С(4,7) → = Х^4/ 4!

Осталось нам разложить в биноминальный ряд число «e» и большинство секретов будет раскрыто.

e = (1 + 1/ n) ^ n = С(0, n) * (1/ n)^ 0 + С(1, n) * (1/ n)^ 1+ С(2, n) * (1/ n)^ 2+

+С(3, n) * (1/ n)^ 3…………………….+С(n, n) * (1/ n)^ n =

= 1 + n^ 1/ 1! * 1/ (n)^ 1+ n^ 2/ 2! * 1/ (n)^ 2 + n^ 3/ 3! * 1/ (n)^ 3 ……………………… + +n^ n / n! * 1/ (n)^ n =

=1 + 1/ 1! + 1/ 2! + 1/ 3! ……….+ 1/ n!

Итак,

e =1 + 1/ 1! + 1/ 2! + 1/ 3! ……….+ 1/ n!

Если же мы разложим в биноминальный ряд e^ λ , то аналогичные промежуточные действия, приведённые выше, я опускаю, и сразу выдаю результат.

e ^ λ =(1 + λ / n) ^ n =1 + λ ^ 1 / 1! + λ ^ 2 / 2! + λ ^ 3 / 3! ……….+ λ ^ n / n!

Теперь смотрим на формулу Пуассона

Р(λ)= ((λ ^ m) / m!) * (e^ (-λ)) , и видим, что

(λ ^ m) / m! - это разложение в биноминальный ряд e ^ λ.

Т.о., Формула Пуассона это

Р(λ)= e ^ λ *(e^ (-λ)) = 1 , где e ^ λ разложено с помощью бинома.

Осталось нарисовать, как в результате получается волна.

Разумеется, вся соль в : (λ ^ m) / m!

И достаточно нарисовать вместе, изменяя по m, функции числителя и знаменателя.

Y= λ ^ m

Y= m!

Рис.10.

Из рисунка видим, как вначале Y= λ ^ m обгоняет Y= m!, а затем резко отстаёт.

Нетрудно догадаться, что эта петля и создаёт волну при делении (λ ^ m) / m!

Рис.11.

Подводя итог. Насколько это было возможно, я подробно расписал все внутренние механизмы формулы Пуассона.

К сожалению, в учебниках с этим проблема, и теперь каждый может обратиться к этому материалу, и разобраться с неясными моментами.

Также стоит хорошо помнить, что когда посредством формулы вы считаете какую-либо вероятность, то это всего лишь модель.

А реальная случайность никому ничего не должна, не знает об этой формуле и ходит, как кошка, сама по себе, где и когда вздумается.