В математической науке, как в настоящем дремучем лесу, существуют загадочные и труднодоступные для понимания места, где заблудиться в трёх соснах пара пустых.
Несомненно, число «℮» это мистическая история, в которой имеет смысл поплутать в поисках смысла жизни.
Если кто-либо озаботится пониманием этой волшебной константы и решится почитать по теме, то узнает массу никак не связанных фактов и определений, насыщенных алгебраической абракадаброй.
Но почему-то самого главного там не будет. Так в чём же смысл числа «℮»?
Любые попытки найти однозначное смысловое определение будут тщетны. Меж тем как оно должно быть, и без него, дальнейшее понимание огромного количества материала будет невозможным. Это очевидный пробел, который необходимо восполнить.
Сразу попытаюсь дать краткое определение.
Число «℮» это единица измерения нелинейности.
А что это означает?
Для понимания необходимо прибегнуть к аналогиям.
А что такое единица измерения линейности?
Обычная единица, начало числового ряда.
В чём её волшебные особенности?
В том, что она обладает безразмерностью и универсальностью.
Например.
Математическое понятие точки или линии. У них есть вес, размер, толщина и т.д.?
Нет, это безразмерная абстракция. А ещё говорят, что математика точная наука.
Так вот эта самая единица, своей универсальностью, позволяет нам ответить на предложенный выше вопрос.
Точка имеет размерность единицы. Линия – толщиной в единицу.
Т.о. главное свойство единицы в результате действий с ней.
5 / 1 = 5, 5*1 =5, 1*1 = 1 = 1*1*1*1*1……….
Если добавить в рассуждения понятие о бесконечно малых, то можно даже предложить аналогию: числовой ряд сходится к единице как к пределу и бесконечно малой величине, обладающей особыми уникальными свойствами.
Например. Если в формуле производной f ' (x) = lim dy/dx, заменить dx на 1, (dx = 1), и считать её бесконечно малой, то в пределе, при больших «х», f ' (x)= dy, что и используется в приближённых вычислениях.
Рис.1.
Да, действительно, большинство инженерных задач связанных с нелинейностью решается примитивным разбиением кривой линии на маленькие участки и допущением, что на этих промежутках она равна прямой.
Тогда длина линии легко вычисляется c помощью бесконечно актуальной Теоремы Пифагора:
L^2 = dy^2 + dx^ 2.
А площадь под ней: (Y1 +Y0) / 2 * dx.
Естественно, что подобный примитивизм был не всем по душе, и идея нелинейной единицы измерения висела в воздухе.
Сразу стоит отметить, что у нас уже есть одна известная единица нелинейности. Это число «π».
Но она не обладает свойствами бесконечно малой величины и характеризует циклические процессы.
Рис.2
dy/dx= sin(x)/cos(x)=tg(x)
Синус и косинус совершают цикл, переходя через ноль, а бесконечно малая величина не может быть нолём.
Число «π» можно назвать единицей цикличности.
Во многих же практических задачах приходится иметь дело с бесконечно сходящимися процессами, описываемыми степенными рядами и мы можем мысленно встать на место людей придумавших число «℮» и попытаться открыть Америку вновь.
Сформулируем, как должна выглядеть единица нелинейности.
1. Несомненно, она должна быть связана с кривой линией и площадью.
Из этого следует, что без возведения в степень нам не обойтись.
2.По аналогии с обычным числовым рядом, нетрудно догадаться, что к нашей единице должен сходится какой-то, скорее всего степенной ряд.
3. Сама же единица, должна обладать некими универсальными свойствами при совершении действий с ней. 1*1 = 1^1=1^n = 1
Теперь можно сделать некоторые приближения к местам возможного поиска.
Раз у нас непременно степенные ряды, то первые кандидаты на рассмотрение: х^1 и х^(-1).
х^1 – это обычный числовой ряд, где уже есть 1.
А вот х^(-1), или, что тоже 1/х это нелинейная кривая или гипербола, бесконечно сходящаяся к нулю. Несомненный кандидат на первоочередное рассмотрение.
Далее, имеет смысл зайти со стороны площади и начать с обычного линейного представления. Заодно, вкратце коснуться комплексных чисел.
Как только появляется понятие площади сразу же необходимо второе измерение.
Рис.3.
Добавляется вторая ось Y и любая точка плоскости может быть описана двояко.
Через функцию y=f(x), либо посредством вектора R с проекциями на оси.
Комплексное число это просто векторная запись любой точки плоскости, где ось X представляет единичный вектор, а ось Y, он же, но повёрнутый на 90ْ
Поворот на 90ْ записывается как 1* i.
Т.о., умножение на мнимую единицу это просто поворот на 90ْ .
В остальном, все операции с комплексными числами происходят как с обычными векторами.
И простейшая запись вектора соответствующего единичной площади:
R=1+1* i.
Нетрудно догадаться, что длина вектора вычисляется по Теореме Пифагора и равна √2.
Это же, мы можем записать формулой окружности. R^2 = X^2+ Y^2.
Для чего это всё нужно.
Допустим, линейная единица площади у нас перед глазами - вектор R . Как получить нелинейную?
Наверное, надо возвести в степень: R^n. (√2) ^n это тоже, что и 2^n.
Но число 2 не бесконечно малая величина и у нас отсутствует сходящаяся степенная последовательность.
Тогда попытаемся разложить в биноминальный ряд .
(1+1) ^2 = 1^2+1^2+2*1*1=4
(1+1) ^3 = 1^3+1^3+3*1*1+3*1*1=8
……………………..
В пределе:
(1+1) ^ n = х ^ 0/0!+ х^ 1 /1!+ х^ 2 /2! + х^ 3 /3!.........
Чтобы ряд был сходящимся в разложении бинома надо убрать числитель : х^ (1….n). Или, что тоже, превратить его в единицу, а значит разделить на (1/х) ^ (1….n).
Задача элементарно решается, если вместо единицы в бином подставить 1/х.
(1+1/х) ^ n
Тогда разложение бинома примет вид
(1+1/х) ^ n=1 /0!+ 1/1!+ 1/2! + 1/3!.........
Ряд сходится и имеет бесконечно вычисляемый предел = 2,718…….
Заодно подтверждается, что функция 1/х обладает некими волшебными свойствами.
Рис.4.
На рис.4, вместо единичного вектора i *1, по оси Y, расположен воображаемый и бесконечно малый вектор i *1/х
И результирующий вектор R=1+ i*1/х
Если мы возведём его в степень n, то в приделе получим 2,718 или число «℮».
А как оно выглядит и чем примечательно.
Понятно, что это нелинейная конструкция, но представить её можно по-разному. И в виде прямого отрезка, и в виде площади, и в виде кривой.
Но самое важное то, что 1/х можно представить как бесконечно малую величину, обладающую в своём предельном виде соответствующими свойствами, в которых вся соль.
1+ 1/х =(1+ 1/х) ^1
1+ 2/х =(1+ 1/х) ^2
1+ 3/х =(1+ 1/х) ^3
…………………
1+ n/х =(1+ 1/х) ^ n
И, наконец.
1+ х /х =(1+ 1/х) ^ х
Казалось бы, все выражения, кроме первого, не могут быть равенствами, а последнее, и вовсе, абсурдно:
х /х = 1, и → 1+ х /х = 2
Но для того и придумана бесконечно малая величина, чтобы совершить этот предельный переход.
Это аналогично равенству: 1+х = 1* х, при х →∞
Подводя итог. С помощью единицы нелинейности, константы «℮», мы совершаем предельный переход от функции сложения к функции степени, или от прямой линии к кривой.
Изобразим в абстрактно - алгебраическом виде волшебную последовательность этого мистического преобразования.
1 + 1 → 1 + х /х → (1+ 1/х) ^ х
Теперь о последствиях и формуле Эйлера.
Всё написанное выше было необходимо для того чтобы разобраться с формулой Эйлера, найти простое объяснение, которого я нигде не смог найти и, следовательно, должен был написать сам. Ниже формула Эйлера.
℮ ^ (i*φ) = cos φ + i*sin φ
С правой частью все понятно.
cos φ + sin φ - это просто векторная запись единичной окружности : 1^2= (cos φ)^2+( sin φ)^2,
А что такое ℮ ^ (i*φ) ? Как понять возведение в комплексную степень?
Изложение этого секрета доступным образом, напрочь отсутствует в математической литературе.
Рис.5.
Начнём сначала. У нас есть единица или единичный вектор. Добавим к нему бесконечно малую величину 1/х и повернём её на угол 90ْ. Поворот изображается умножение на i.
Имеем простое сложение двух векторов. Результирующий вектор: R=1+ i*1/х.
Какой длины вектор R? Казалось бы очевидно. R=√(1^2+ (i*1/х) ^2).
Но 1/х бесконечно малая величина, следовательно, в пределе стремится к нулю, а вектор R стремится к 1.
Мы получили удивительную ситуацию, когда за счёт предельного перехода гипотенуза треугольника равна его катету.
И да, мы можем записать равенство.
1+ i*1/х =(1+ 1/х) ^(i*1)
Только так и может появиться возведение в комплексную степень. За счёт предельного перехода в числе ℮.
Продолжим тему дальше.
Рис.6.
Вновь подрисуем нашей гипотенузе бесконечно малый вектор i*1/х под углом 90ْ.
1+ i*1/х + i*1/х =1+ 2*i*1/х = (1+ 1/х) ^(i*2)
1+ i*1/х + i*1/х + i*1/х =1+ 3*i*1/х = (1+ 1/х) ^(i*3)
И т.д.
1+ n *i*1/х = (1+ 1/х) ^(i* n)
1+ х *i*1/х = (1+ 1/х) ^( i * х) =((1+ 1/х) ^ х) ^ i =℮ ^ i
И вот таким удивительным способом мы получили комплексную степень числа ℮.
При этом очевидно, что бесконечно малые приращения 1/х, постоянно поворачиваются на бесконечно малый угол и рисуют окружность.
Рассуждаем дальше.
Так как размер бесконечно малой величины у нас не определён, то любой участок окружности, любой малости, мы можем рассматривать как сумму:
1+ х *i*1/х
И, соответственно, как: ℮ ^ i
Если любой бесконечно малый кусочек окружности =℮ ^ i,
то вся окружность =℮ ^ (i * φ.)
Потому что:
1+ φ* х *i*1/х = (1+ 1/х) ^( i * х* φ) =((1+ 1/х) ^ х) ^ (i *φ) =℮ ^ (i * φ)
Надеюсь что такими непростыми для понимания и замысловатыми путями, мы всё же добрались до понимания формулы Эйлера и сути числа ℮ как единицы нелинейности.
К сожалению, прочесть подобный ход рассуждений невозможно нигде и всё изложенное выше, это лишь больное воображение автора в отсутствие другого материала по теме.
Единственный источник, на который можно опереться в предложенной идее, расположен здесь:
https://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-eulers-formula/
Он на английском языке, и также не представляет официальную математическую мысль.
| 
