В обычной жизни сложные математические понятия не нужны и закончив обучение, большинство людей их бесследно забывают.

Причины подобного состояния дел в слабом преподавании предмета.

Можно забыть частные детали и формулы, но суть понятия, смысл заложенных в него идей это то, что должно оставаться.

И вот с этим всегда проблема, объяснить простыми словами и на пальцах, так, чтобы это закрепилось в голове, не удосуживается никто.

Приходится это делать самому.

Начинать надо издалека. Человеческий мозг имеет образное восприятие, где главный интеллектуальный ресурс способность к аналогиям и обобщениям.

В основе понимания и передачи информации лежат символические образы, к которым относятся и базовые математические фигуры, окружность и квадрат.

В данном случае нам достаточно окружности, как обозначения завершённости и цикла.

Но окружность это не математическая функция. И чтобы она таковой стала, её надо развернуть по оси «Х» в виде волны.

Рис.1.

Столь нехитрым способом, изначальный образ, символизирующий полный цикл, превратился в синусоидальную волну.

Теперь поставим простую задачу.

Как с помощью этой волны нам описать тот факт, что 20 марта день весеннего равноденствия.

Если у нас обычная окружность, мы просто поставим на ней точку и назовём 20 марта.(рис.1).

Если у нас волна, то мы, как-то, должны эту точку выделить. Типа начало астрологического года и всему голова.

Рис.2.

Мы пришли к понятию равносторонняя волна, с единственной вершиной.

Эта волна, как и окружность, описывает целостный процесс с некой уникальной точкой во главе.

Поставим новую задачу. А как нам описать тот факт, что день весеннего равноденствия бывает не только 20 марта, а примерно вокруг этой даты.

Очевидно, что модель надо подкорректировать.

Это и было сделано посредством теории вероятностей.

Сформулируем условиям для новой функции.

-она должна отражать целостное, завершённое явление в виде волны.

-желательно, чтобы функция была гладкой и дифференцируемой ( интегрируемой)

- функция должна быть универсальным и законченным символом, единицей измерения, а значит, равна 1(единице).

Очевидно, что синусоида для этого не подходит.

Далее, отвлечёмся на простейшее изложение основ теории вероятностей.

Любое явление, которое мы хотим описать посредством этой теории должно быть целостным. Т.е., содержать все возможные варианты событий.

Например. Бросаем монету. Всего вариантов два.

50 % -один, столько же – другой.

Рис.3.

В сумме обязательно единица, а вероятность того или иного события это доля этой единицы.

Всё понятно.

Но теория вероятностей оперирует не только дискретными цифрами, но и площадями.

Изображаем то же, что и на рис.3., только в виде единичной площади.

Рис.4.

0,5 кв.ед. площадь одного прямоугольника, столько же второго, и сумма площадей, равна 1 кв.единице.

Вероятности, в данном случае, изображаются площадями, а значит можно говорить о «плотности вероятности».

Вероятность это доля в 0,5 = 1/2 , распределённая по площади 0,5 кв.единицы.

Очевидно, что (доля в 0,5) / (0,5 квадратных единиц) это плотность вероятности (вероятность на единицу площади).

Из этого вытекает условие, что площадь под нашей функцией, тоже должна быть равна 1.

Нетрудно догадаться, что такая фигура была придумана и названа в честь создателя, кривой Гаусса.

Рис.5.

Таким образом, если кто-то полагает, что любая случайная величина должна как по линеечке выстраиваться по данной волшебной кривой, плохо понимает суть проблемы.

Математики просто подобрали удобную для вычислений кривую, отвечающую необходимым теоретическим условиям, аксиомам, лежащим в основе теории вероятностей, создав новый символ, новую единицу для описания случайных процессов.

Точно так же, как любой завершённый цикл мы можем назвать окружностью, сказав, что он образует круг, даже если он эллиптической формы, так и любой случайный процесс мы можем назвать кривой Гаусса или нормальным распределением, ничуть не смущаясь отклонениям формы от идеала.

На этом, большинство читателей столь ценного опуса, может прекратить чтение.

Я постарался, надеюсь доходчиво, рассказать главное и суть.

Почему-то, столь примитивного, но очень важного для понимания изложения, найти нигде невозможно.

Всё остальное, это технические детали и формулы, которые забудутся через пару дней,

и любой желающий может найти их в интернете.

Для полноты картины, кратко, пройдусь по основным деталям.

Кривую Гаусса собрали из двух функций:

"Y" = - (X ^ 2) и Y = e ^ t , где в виде t подставляется первая функция t = "Y" = - (X ^ 2).

Что такое "Y" = - (X ^ 2) ?

Обычная парабола, перевёрнутая рогами вниз. Минус перед функцией её переворачивает.

Рис.6.

С помощью "Y" = - (X ^ 2) сделали у волны шапку.

Чтобы эта шапка, изобразила холм с плавными склонами, её поместили в степень числа «е».

Y = е ^ (- (X ^ 2)) см.рис.5.

Почему число «е»? Других цифр не нашлось?

Вспоминаем, что такое «е».

Число «е» это константа, аналогичная «π».

Посредством этой константы площадь под гиперболой Y = 1 / X идеально преобразуется в линию, в виде экспоненты или логарифма.

Вот это идеальное преобразование площади в линию и позволяет сделать функцию бесконечно интегрируемой и дифференцируемой, а также сделать эту площадь равной 1(единице). Что необходимо для выполнения теоретических условий задачи.

С точки зрения практики, вместо «е», мы можем поставить число 2 или 3. Погрешность будет недостойной упоминания. Но чтобы задача была теоретически верна, мы используем число «е».

Далее, откуда берётся площадь равная 1(единице)?

Из раздела математики занимающегося интегралами известно, что площадь под кривой

Y = е ^ (- (X ^ 2)) равна корню квадратному из π (√ π).

Это, так называемый Гауссов интеграл или (интеграл Э́йлера — Пуассо́на).

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%B2_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB

Итак, площадь под нашей кривой равна интегралу Пуассона, который равен √ π.

∫Ydx = ∫е ^ (- (X ^ 2)) dx = √ π

А нам нужна площадь равная 1(единице).

Для этого мы просто делим нашу функцию на √ π.

(1 / √ π) * ∫Ydx = (1 / √ π) * ∫ (е ^ (- (X ^ 2))) dx

(1 / √ π) * ∫Ydx = (1 / √ π) * √ π = 1.

Таким способом, достигается равенство площади единице.

Далее, чтобы наша кривая могла плавно менять форму в зависимости от описываемой задачи, вводится переменный коэффициент под названием σ.

На этот коэффициент делится переменная «X», чем достигается сжатие и растяжение нашей кривой.

Обычно «X» делится на (√2 σ), (Х/(√2 σ)).

Y = (1 / √ π) * е ^ (- ((Х/(√2 σ)) ^ 2))

Так как мы изменили правую часть формулы, введя дополнительный коэффициент, то площадь под нашей фигурой перестаёт быть равной единице.

Следовательно, нам снова нужно сделать корректировки, и дальнейшее изложение темы полностью посвящено этому.

Как это происходит?

Так как «X», с добавлением коэффициента и переменной σ, (Х/(√2 σ)) становится сложной функцией, то при интегрировании производят замену переменной.

Переменную Х/(√2 σ) обозначают как t.

∫Ydt = ∫е ^ (- (t ^ 2)) dt

Так как нам надо выразить функцию через переменную «X», то выражаем изменение по «t» (dt), через изменение по «X» (dx).

dt / dx =(Х/(√2 σ))' =1 / (σ√2) < = > dt = (1 / (σ√2)) dx

Подставляем в формулу выше, вместо dt →(1 / (σ√2)) dx

∫Y (1 / (σ√2)) dx = ∫е ^ (- (t ^ 2))* (1 / (σ√2)) dx

Т.к., (1 / (σ√2)) постоянная, при изменении по переменной «X», то она выносится за знак интеграла.

1 / (σ√2)* ∫Y dx = 1 / (σ√2)*∫ е ^ (- (t ^ 2)) dx

Столь замысловатым способом, к нашему поправочному коэффициенту, делающему площадь равной единице, добавляется → 1 / (σ√2).

И формула обретает свою окончательную форму:

(1 / σ √ (2π))* Y = (1 / σ √ (2π))* е ^ (- ((Х/(√2 σ)) ^ 2))

В WORDе и текстовом редакторе сложные математические формулы выглядят коряво и стоит показать это рисунком :

Рис.7.

Или посмотреть как оно выглядит в Википедии.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

Кривая Гаусса широко используется при моделировании условно случайных процессов.

Необходимо обязательно отметить, что полностью случайных процессов, в природе, и даже теоретически, не бывает.

У любого явления есть как случайная, так и неслучайная составляющая.

И когда мы определяем процесс как случайный, мы неизбежно используем абстракцию, пренебрегая или считая незначимой в данном конкретном месте, неслучайную составляющую.

На реальном рынке сделать деньги на случайной величине невозможно.

Это аксиома.

Поэтому любой инвестор опирается в своих расчётах на неслучайные факторы.