В этом посте я немного отклонюсь от темы фондового рынка, и затрону проблему, касающуюся его опосредованно.

Речь пойдёт о математике, и о том, что учебники по ней, особенно высшей, пишут не для нормальных людей.

А потом всё удивляются, что математику не любят, не понимают, не помнят, не могут применять и т.д.

Открываем любой учебник.

Вас встречает абракадабра из крючков и загогулин, перетекающих друг в друга, и так на многие страницы.

Перестановка местами, этих крючков и загогулин, служит доказательством для них же самих и т.д.

Господа профессора математики, может быть и самые умные, но совершенно не представляете себе, как устроен человеческий мозг и его восприятие.

Человек не компьютер и не вычислительная машинка, он не мыслит в двоичном или ещё каком коде.

Он мыслит ОБРАЗАМИ. Пространственными образами.

Например:

Когда человек читает слово: «Дом».

Тоже вроде ряд крючков. Но читая, он представляет себе не эти закорючки «Д.О.М.», расположенные в определённом порядке, а образ дома. И у каждого он свой.

Когда вы объясняете ребёнку, что такое, допустим, «стол».

Вы что, как профессора математики говорите ему:

- Ну, это слово и четырёх букв, расположенных в определённом порядке?

Наверное, нет.

Вы скажите:

- Это широкая доска на ножках, за которой удобно сидеть и …… пить чай,….. и т.д.

Взрослые, они те же дети, только на порядок тупее.

Я не одинок в своих оценках и знаю замечательный сайт, правда, на английском, где автор пытается донести до людей, казалось бы сложные вещи, простым языком.

https://betterexplained.com/

Я не делаю ему рекламу, и более того, очень не многое из написанного там прочёл, но у автора замечательная идея и есть отличные находки.

Это математика человеческим языком.

Попытаюсь отчасти составить ему конкуренцию и объяснить, в чём идея такого сложного и, наверное, венчающего курс дифференциального исчисления явления как разложение в ряд Тейлора.

Попутно, кому ещё не удалось осилить, постараюсь дать доступный к пониманию образ производной и первообразной.

Прежде чем пачкать бумагу кракозябрами, необходимо сжато и объемно, выразить основную идею любого понятия, создав его образ.

Для этого, проще всего, обратиться к истории предмета.

Ведь то, что мы потребляем, это лишь культурные наслоения.

Огромный пласт математики, связанный с дифференциальным исчислением и теорией вероятностей вырастает из древнего символа под названием « Треугольник Паскаля».

Он и станет нашим опорным образом.

Ниже он в двух видах. В виде прямоугольника, с рядом последовательностей, и в виде треугольника, как его обычно всем показывают. Важны оба варианта.

Рис.1 и 2.

В чём суть представленных рядов цифр?

Первый ряд: 1,1,1………….

Второй ряд: 1,2,3,4………….

Третий ряд: 1,3,6,10…..

Цифры второго ряда это сумма нарастающим итогом первого ряда.

Каждая цифра второго ряд есть некое значение в ряду 1,2,3,4,

одновременно, это приращение для третьего ряда, и сумма значений первого ряда.

И т.д.

Мы получили матрёшку с внутренними вложениями.

Вот эта матрёшка с бесконечными внутренними вложениями, и является тем зерном, из которого вырастает всё остальное.

Вся суть разложения в ряд Тейлора это представление какой либо точки, предмета, функции, либо в виде целого, либо в качестве чьего-то приращения, либо состоящего из каких-то частей, внутренних вложений-приращений.

И без понимания этого ключевого факта все остальные усилия становятся бессмысленными!!!

Поняв, как устроен Треугольник Паскаля, мы, автоматически, получаем ключ к пониманию всех последующих наслоений.

Теперь, давайте нарисуем образ производной и первообразной.

Первый ряд: 1,1,1………….

В виде алгебраического выражения это функция, Y = 1.

На графике это прямая линия:

Рис.3.

Как появляется первообразная для Y = 1 ?

Если точно, то это изменяющаяся площадь под линией Y = 1.

Эта площадь равна : Y = Х* 1, => Y = Х

А в Треугольнике Паскаля это сумма цифр Y = 1+1+1+1….., и, соответственно, ряд 1,2,3,4….

Разница между площадью под прямой и суммой цифр есть, но для понимания смысла она несущественна.

Т.о., нами установлено, что из первого ряда в Треугольнике Паскаля, суммированием получается второй, становящийся его первообразной, естественно, что одновременно, для второго ряда, первый является производной с приращением равным единице.

Нетрудно догадаться, что эта тема продолжается дальше до бесконечности.

Графически это выглядит так:

Рис.4.

Веер линий, начиная от горизонтальной прямой, затем прямой под углом в 45 градусов, а далее, всё более круто возрастающие кривые.

Смысл разложения в ряд Тейлора это попытка выразить или разложить любую функцию, либо приращение этой функции на простейшие, вложенные друг в друга, как матрёшки, части.

Теперь, наглядный пример из «Треугольника».

Берём число 35 из четвёртого ряда.

Оно состоит из предыдущего числа 20, из того же ряда и приращения 15 из соседнего, третьего ряда.

35 = 20 + 15

Но ведь число 15 тоже можно разложить дальше на простейшие.

15 = 10 + 5

А число 5 мы снова можем разложить на 5 = 4+1

Итак, что в итоге.

35 = 20 +10 + 4 + 1

Вот мы и разложили, «образно», в ряд Тейлора. Нашли функцию в точке со значением 35 в виде его различных приращений, разной степени сложности.

Опорные образы созданы, и можно перейти к более сложным вещам.

Открываем главу любого лечебника, посвящённую ряду Тейлора.

« У нас есть многочлен степени N»

??????

Откуда многочлен? Почему степени N? С какого неба это всё упало?

Смотрим на «Треугольник».

Как можно выразить сумму первого ряда в виде произведения или площади?

1,1,1…… = 1 * n = n => 1,2,3,4……

Как можно выразить сумму второго ряда в виде произведения или площади?

1,2,3,4……=> = n*( n+1) / 2

Докажем это.

Рис.5.

Расположили первые пять цифр двумя рядами, в прямом порядке и обратном.

Их сумма равна 6. а всего чисел 5.

6*5 = 30. Делим на 2 равно 15.

Т.о., сумма первых пяти цифр = 5*6 / 2 = n*( n+1) / 2

Есть!

Второй хитрый способ. Ход конём в вакууме.

½ * 2* (1+2+3+4+5)

Умножаем и делим наш ряд из пяти цифр на 2 одновременно.

1/2 оставляем за скобками, а 2 вносим в скобки.

1*2+2*2+3*2+4*2+5*2

Складываем почленно:

1*2+2*2 = 2*(1+2)= 2*3

2*3+3*2=3*(2+2)=3*4

И т.д.

Вспоминаем про ½.

Т.о., любое число ряда 3 это сумма ряда 2 и равно (2*3)/2 , (3*4)/2, ……. = n*( n+1) / 2

Есть!

Теперь плавно переходим к производным или делаем предельный переход.

Числа 1 и 2 отличаются друг от друга в 2 раза.

А числа 1001 и 1002 почти друг от друга не отличаются.

Т.о., n*( n+1) / 2 = n ^ 2 / 2, в бесконечности или пределе.

Вот, мы поняли, с какого неба упали квадраты.

А кубы откуда? Аналогично.

½ *(1*2+2*3+3*4+4*5+5*6)

Делаем ход конём в вакууме. Умножаем и делим на 3 одновременно.

½ * 1/3 * (1*2*3+2*3*3+3*4*3+4*5*3+5*6*3)

Складываем почленно:

1*2*3+2*2*3= 2*3(1+3)= 2*3*4

2*3*4+3*4*3=3*4 (2+3)=3*4*5

И т.д., вспоминая про 1/3, имеем:

n*( n+1)( n+2) / 2*3

Разумеется, в бесконечности или пределе, n*( n+1)( n+2) = n ^ 3.

Т.о., n*( n+1)( n+2) / 2*3 , превращаются в n ^ 3 / 2*3, или что тоже = n ^ 3 / 1*2*3=

n ^ 3 / 3! = n ^ 3 / 6

Мы очень простыми средствами, опираясь на Треугольник Паскаля, узнали:

Откуда взялись степени N, и, по дороге, про Биноминальные коэффициенты:

n*( n+1)( n+2) / n! => n ^ n / n!

А многочлен откуда?

Вспоминаем образное разложение в ряд Тейлора выше:

35 = 20 +10 + 4 + 1

Или

5*6*7 / 3! = 4*5*6 / 3! + 4*5 / 2! + 4*1/ 1! + 1 / 0!

Или

n ^ 3 / 3! = (n-1) ^ 3 / 3! + (n-1) ^ 2 / 2! + (n-1) ^ 1 / 1! + 1 / 0!

Теперь, запишем это алгебраически, в виде многочлена:

Y(n) = Y(n-1)+ (n-1) ^ 2 / 2! + (n-1) ^ 1 / 1! + 1 / 0!

Мы получили степенной многочлен, в который разложили приращение между цифрами 20 и 35 в четвёртом ряду «Треугольника»..

Всё данное выше это образные представления, помогающие понять смысл сухой теории.

Вообще, все теоретические хитросплетения с разложением в ряд Тейлора, замечательно напоминает сказку Самуила Яковлевича Маршака.

«Дом, который построил Джек»

«Вот два петуха,

Которые будят того пастуха,

Который бранится с коровницей строгою,

Которая доит корову безрогую,

Лягнувшую старого пса без хвоста,

Который за шиворот треплет кота,

Который пугает и ловит синицу,

Которая часто ворует пшеницу,

Которая в тёмном чулане хранится

В доме,

Который построил Джек.»

Раз уж мы коснулись производных, то с помощью нашего удачного символа, можно дать хороший способ усвоить правила дифференцирования и интегрирования степенных функций.

Не так, как это принято преподавать в школе.

Как можно выразить цифры в рядах Треугольника Паскаля в виде степенных функций в пределе ?

n ^ 4 / 4! , n ^ 3 / 3!, n ^ 2 / 2 !, n ^ 1 / 1!

Продифференцируем (n ^ 4 / 4!)' , => 4*n ^ 3 / 4! = n ^ 3 / 3!

Продифференцируем (n ^ 3 / 3!)' , => 3*n ^ 2 / 3! = n ^ 2 / 2!

И.т.д.

Т.о., производная от каждой функции, равна точно такой же, только на число меньше!

А с обычными степенными функциями это не так.

В школе показывают именно их.

Функции: n ^ 4, n ^ 3, n ^ 2

Производные: 4*n ^ 3, 3*n ^ 2, 2* n.

Как отличаются между собой производная и функция, от которой она берётся в «Треугольнике»?

(n ^ 3 / 3!) / (n ^ 4 / 4!) = 4/ n,

(n ^ 2 / 2!) / (n ^ 3 / 3!) = 3/ n

4/n, 3/n , 2/n, 1/n - это логарифмические производные.

В общем виде: х * 1/n, где 1/n это производная от функции ln n.

В таком виде правила дифференцирования и интегрирования очень легко запомнить,

Умножаем или делим на « х / n », и получаем производную или первообразную.

Осмыслив всё вышесказанное, можно попытаться на пальцах изложить суть Разложения в ряд Тейлора, так как это даётся в учебниках.

Она(суть), выглядит как в сказке Маршака:

Выражаем степенной многочлен через его производные, коих ”N” штук.

А затем, через этот многочлен выражаем некое бесконечно малое приращение (которое и есть производная), и «вуаля», наше бесконечно малое приращение обретает форму степенного ряда из производных, уходящих в бесконечность.

Без сильных стимуляторов головного мозга это предложение не осилить.

Самое простое, что можно сделать для понимания вышесказанного, это использовать простейший Бином Ньютона: (Х+1) ^ N

Для наглядности возьмём:

Y = X ^ 3

Даём числу X бесконечно малое приращение:

X + dx

Y = (X + dx) ^ 3, => алгебраически Y = X ^ 3+3* X^ 2* dx^2+ 3*X* dx+ dx^ 3

dx - это бесконечно малое приращение, стремящееся к 0.

Если мы сделаем его 0, то и получим что было. Y = X ^ 3 = (X+0) ^ 3 =Y

Будем считать, что самое маленькое приращение равно 1.

Ведь в пределе оно становится бесконечно малым.

Тогда получаем Биноминальное разложение:

Y = X ^ 3+3* X^ 2 + 3*X + 1 = (X + 1) ^ 3

А можем записать и по-другому, глядя на Треугольник Паскаля:

Y1 = Y0 +3* X^ 2 + 3*X + 1

Какие факты следуют из представленного многочлена?

Производная (X ^ 3) ' = 3* X^ 2

Производная (3* X^ 2) ' = 6* X

Производная (6* X) ' = 6 .

Итак : Y = X ^ 3 + 3* X^ 2 + 6* X + 6

Или : Y = X ^ 3 + (X ^ 3) ' +(X ^ 3)'' + (X ^ 3)'''

Но чего-то, явно, не хватает. Ах да! : / 1! , / 2! , /3!.......

Y = X ^ 3 + (X ^ 3) ' / 1! +(X ^ 3)''/ 2! + (X ^ 3)'''/ 3! =>

=> Y = X ^ 3+3* X^ 2 + 3*X + 1

Т.о., мы получили тот самый многочлен со степенями N, ( в данном случае это степень =3) из разложения Бинома Ньютона.

Попутно замечаем, что в нашем Треугольнике Паскаля, коэффициенты у этого многочлена 1, 3, 3, 1 (как и любого другого) расположены по диагонали.

Осталось, для порядка, записать всё это в общем виде:

Y(n+1) = Y(n)+ Y'(n) / 1! + Y"(n) / 2!+ Y"'(n) / 3!+ ……

Собственно это то, что нарисовано в каждом учебнике, в виде закорючек.

Итак, в этом посте, в кратком виде и на одной странице, изложен курс дифференциального исчисления с точки зрения детского сада. ( А сложнее и не потребуется).

Всё в одном флаконе! В матрёшках, сказках и игрушках!

«Вetter explanation»

Прошу любить и жаловать!