Измерение доходности неравномерно поступающих платежей, как и способы их расчёта,  вызывают сложности. Поэтому  имеет смысл подробно разобрать и размять эту тему.

Мне это будет полезно, так как способность что-либо просто  описать и объяснить,   является пониманием предмета.

А тем, кто удосужится прочитать и разобраться, поможет начать использовать столь удобный инструмент.

Сначала об истории вопроса.

Понятие деньги,  исторически, претерпевало изменение и усложнение, что   создаёт проблему восприятия. Ещё пару сотен лет назад это было некое количество единиц, допустим монет, привязанных к объёму золота.

Но подобная денежная система оказалась нежизнеспособной. Деньги исчезали из оборота и постоянно дорожали. Их начинали накапливать. Значительная часть истории человечества это грабежи  и битвы  за кусочки металла.

Чтобы  решить эту проблему и были созданы кредитные деньги и   банковская система.

Кредитные деньги не привязаны к каким–либо материальным объектам,

если они исчезают из оборота и дорожают, то их просто подпечатывают, до создания некого равновесия в денежной системе,  за которой следит регулятор.

Т.о., деньги стали увеличиваться в числе и уменьшаться в стоимости, распадаться во времени.

Следовательно, и измеряться они стали не через количество единиц, а через скорость их изменения во времени, или через время.

На  сегодня, мы измеряем деньги в виде процента их приращения или через время их полураспада. Например.

Ставка в банке 10% за год. Это значит, что стоимость  денег равна приращению на 10% за год к первоначальной сумме. 100р +10р = 110р.

Но можно это измерить и через время их удвоения. 100р  /  10р = 10 лет.

Это означает, что при простой доходности в 10% через 10 лет у нас станет 200р.

На этом проблемы не заканчиваются. Потому, что доходность может быть не только простой, но и сложной.

Мы можем постоянно реинвестировать получаемые 10р, увеличивая сумму вложений.

При таком расчёте доходности   время полураспада или удвоения  превращается в логарифм.    LOG  (2) по основанию (1,1)  = 7,27 лет. Это = 100р * (1,1)^7,27 =200р.

Естественно, всё это влечёт сложности подсчёта и восприятия.

Особенно эти сложности очевидны, когда у нас неравномерный, по срокам и количеству, поток входящих и исходящих платежей.

Например.

Срок инвестирования 300 дней.

Входящая сумма = 100р.

Через 100 дней мы забираем 30р.

Ещё через 100 дней мы вкладываем  10р.

Через 300 дней у нас на счёте 120р.

Какая у нас доходность?

Многие, конечно, не заморачиваются  на эту тему, но тогда непонятно, как сравнивать между собой инвестиционные инструменты, и их результаты, и как принимать решения.

 Как же решают эту проблему? По-разному. Очень многие  по старинке, через средневзвешенную сумму на счёте.

Возвращаемся к примеру.

Доход в рублях =  Исходящая (результирующая) сумма +вывод средств – ввод средств - входящая сумма

= 120р+30р-10р-100р=40р.

Но к какой сумме его относить?

100 дней было 100р.

Ещё 100дней было 100р-30р=70р.

А ещё 100дней было 70р+10р=80р.

Вычисляют средневзвешенную сумму, через геометрические представления,

Рис.1.

по следующей формуле.

100р *100дн +70р *100дн + 80р *100дн = «Х»р * 300дн.,

далее    это преобразуется,

100р *100дн / 300дн +70р *100дн / 300дн +80р *100дн / 300дн = «Х»р

Дни делятся на дни, по правилам физики, и в левой части остаются рубли, которые можно сложить и получить, «Х»р, или средневзвешенную сумму.

«Х»р = 83,33 р.

Осталось отнести наш доход 40р к 83,33р =  40р / 83,33р  = 48 % .

Но это ещё не всё.  Это доход за  300 дней. А нам надо за 365дн.

=> 40р / 83,33р / 300дней *365дней = 58,4 %/год.

Видим, сколько геморроя по достаточно простой операции.

Хотя в exel эту процедуру несложно организовать.

Теперь, как этот процесс подсчёта доходности реализован в exel через функцию ЧИСТВНДОХ.

В данном случае используется сложная доходность.

Чтобы это было понятно, надо разобрать, подробно и наглядно, что такое сложная и простая доходность.

Начнём с простой.

У нас есть 1 р.

Доходность это изменение, и она равна, допустим, 10% или 1/10.

=> через единицу измерения времени = год, мы получим  ещё = 1/10р.  

Ещё через год опять  = 1/10р и т.д.

Таким образом, сумма наших денег будет прирастать линейно:

=1+1/10+1/10+1/10+1/10

Рис.2.

И за 10 лет превратится в 2р, удвоившись.

Теперь сложная доходность.

У нас есть 1 р.

Через единицу измерения времени = год, мы получим  ещё = 1/10р.  

Далее мы не забираем эти деньги, а вкладываем их вновь.

=1р+1/10.

И, последующие 10%, уже идут на новую сумму.

=(1р+1/10)* 1/10 и т.д.

Как будет выглядеть изменение наших денег во времени?

1. 1р+1/10
2. (1р+1/10)+ (1р+1/10)* 1/10= (1р+1/10) (1+1/10)= (1р+1/10)^2
3. (1р+1/10)^2 + (1р+1/10)^2*1/10 = (1р+1/10)^2 * (1р+1/10) = (1р+1/10)^3

И т.д.

Т.о., мы получили геометрическую прогрессию в виде степенной функции.

Рис.3.

На рис.3 видим, как отличаются по цифрам простая и сложная доходность при той же процентной ставке.

И чтобы получить 2р нам потребуется меньше времени, которое из линейной функции превращается в логарифм. Ведь значение степени, в которую мы возводим наши исходные деньги, чтобы их удвоить , по определению, равно логарифму.

LOG  (2) по основанию ( 1+1/10) = 7,27 лет.

Деньги стали логарифмическим временем.

Переходим к тому, зачем это нужно, или к методу работы формулы exel.

Исходя из вышеизложенного, деньги, в  любой временной точке  можно выразить через  общую систему координат.

Например, взять за начало отсчёта  год0, как на рис.3.

Обозначим сумму денег в год0  = S0

Тогда сумма денег в год1 =  S1, и её можно выразить через S0.

S1 = S0 * (1р+1/10)

S2 = S0 * (1р+1/10) ^ 2

S3 = S0 * (1р+1/10) ^ 3

Или в общем виде

S(n) = S0 * (1р+1/X) ^ N

Но можно поступить и так:

1. S0 = S1 / (1р+1/10) ^ 1

2. S0 = S2 / (1р+1/10) ^ 2

3. S0 = S2 / (1р+1/10) ^ 3

S0 = S1 / (1р+1/10) ^ 1 = S2 / (1р+1/10) ^ 2 = S3 / (1р+1/10) ^ 3

Или  в общем виде, 

 S0 = S (n) / (1+1/X) ^ N

Что мы получили в последнем случае?

Одни и те же деньги выраженные через время в точке начала отсчёта = г0.

S (n) -  это сумма денег в рублях.

(1р+1/X) ^ N – это коэффициент геометрической прогрессии, содержащий внутри себя искомую доходность.  

Как этим можно воспользоваться и что делает функция EXEL «ЧИСТВНДОХ»?

Функция приводит все деньги к одному времени и приравнивает входящие и исходящие платежи друг к другу, считая, что это одни и те же деньги.

А чтобы это равенство выполнялось, подбирает соответствующую доходность методом «научного тыка» или обычным перебором. 

Переходим, к примеру, данному выше.

Разделяем  наши  деньги на входящие и исходящие.

Сначала входящие:

1. Входящая сумма =100 р. Время = 0.

Поэтому,  S0(входящие1) =  100 / ( 1+1/ Х ) ^ 0,   => S0 = 100 / 1 = 100р.

2. Входящая сумма =10р. Время = 200дн. Мы через 200 дней внесли сумму в 10р.

Т.к. за единицу измерения принимается 1 год = 365дней, то наша степень «N», будет выглядеть в виде дроби = 200 / 365.  

S0(входящие2)  =  10 / ( 1+1/ Х) ^ (200 / 365)

Теперь исходящие:

1. Исходящая сумма =30р. Время = 100дн.

S0(исходящие1)  =  30 / ( 1+1/ Х) ^ (100 / 365)

2. Исходящая сумма =120р. Время = 300дн.

S0(исходящие2)  =  120 / ( 1+1/ Х) ^ (300 / 365)

Далее, приравниваем входящие и исходящие суммы.

S0(входящие1) + S0(входящие2)  = S0(исходящие1)  + S0(исходящие2)

Это одни и те же деньги в точке  S0.

Записываем развёрнуто:

100 / 1 + 10 / (1+1/ Х) ^ (200 / 365) = 30 / ( 1+1/ Х) ^ (100 / 365) +120 / ( 1+1/ Х) ^ (300 / 365)

Неизвестное в этой формуле только «Х», который и является искомой доходностью.

Мы можем его подобрать, подставляя различные значения так, чтобы равенство было максимально близко к истине.

 Этим и занимается  EXEL, начиная с доходности 1/10 и далее 100 раз (итераций).

Только EXEL переносит всё в   правую или левую часть равенства, чтобы итог = 0.

100 / 1 + 10 / ( 1+1/ Х) ^ (200 / 365) - 30 / ( 1+1/ Х) ^ (100 / 365) -120 / ( 1+1/ Х) ^ (300 / 365) =0

Именно поэтому всё равно, под каким знаком будут входящие и исходящие платежи.

Их можно перенести справа налево, или слева направо,  знак значения не имеет.

Важно, чтобы они просто были разделены по знаку.

При этом проделать эту нехитрую операцию подбора искомой доходности можно и самостоятельно, вручную, без функции  «ЧИСТВНДОХ».

Например, ниже, я скопировал из EXEL разбираемый пример:

Сверху стандартный подсчёт с помощью формулы.

А снизу я подгоняю всё это вручную. Записываю в каждой ячейке дисконтированный(приведённый) денежный поток, отнесённый к коэффициенту, внутри которого доходность «Х». Вместо «Х» ссылаюсь на  общую ячейку с цифрой подбираемой доходности. Нижнее число в последней табличке. Это число изменяю так, чтобы сумма всех ячеек в столбце 6 стремилась к нулю.

Как видим, результат почти точно такой же, как и при расчёте через функцию.

Заодно можно сравнить результат, с тем, который получился при расчёте через средневзвешенную сумму.

Итог отличается почти на 2%.

Надеюсь, что после того как я раздраконил эту непростую в понимании, но очень простую в применении формулу на съедобные части,  у всех хватит желания это осмыслить, осилить и в дальнейшем использовать.