Нетрудно заметить, что практически каждый мой пост сопровождается графиком, с проведённым к этому графику трендом.

Столь частое применение какого-либо ресурса предполагает необходимость с ним (в нём), по возможности, подробнее разобраться, и более того, придумать что-нибудь аналогичное, простое и альтернативное.

Естественно, что я попытался это сделать.

Пока из этого получился «Метод равных площадей».

До него я догадался сам, но заслуга не велика, задачка, не выходит за рамки 7 класса средней школы.

Также, вполне естественно, что до этого додумались задолго до меня, и набор в поисковике «Метод равных площадей», даст ссылки на соответствующие страницы.

«Метод равных площадей» практически не упоминается в информационном пространстве, чего не скажешь про «метод наименьших квадратов».

Это явно несправедливо, и более того, аппроксимация данных с его помощью выглядит логичнее и адекватнее. Во всяком случае, при решении простых задач.

Осталось кратко описать, в чём суть, и в чём популярность одного, а не другого.

Вероятнее всего, победное шествие метода наименьших квадратов связано с использованием такой единицы измерения как среднеквадратическое отклонение.

С помощью данной единицы оценивают разброс значений, каких-либо данных или результатов измерений.

А раз в этом измеряют, то это и используют.

Почему это удобно и почему именно среднеквадратическое?

1. Исчезают минусы. (-1)*(-1) = 1
2. Появляется возможность использовать дифференциальное исчисление.
3. Больший разброс значений даёт и большее среднеквадратическое отклонение. Тогда как при использовании других измерителей, в частных случаях, это не всегда так.

Т.о., удобно.

Но, всё же, удобство это явно не критерий истины.

Мало ли, что ещё нам удобно.

И не придётся ли за это удобство дорого заплатить?

Скорее да, чем нет.

Изложение «метода наименьших квадратов» лёгко найти в интернете на множестве ресурсов, и, наверное, нет смысла в 1001 раз его повторять.

Но всё же, я сделаю это, кратко или не очень.

Рис.1.

У нас есть опытные данные, допустим дивиденды. И нужно так провести между ними линию( например, прямую), чтобы она, по возможности, была максимально равноудалена от этих точек.

Т.к., уравнение прямой : y=ax+b, а значения точек (х,у), нам известны, то надо найти коэффициенты прямой, «а» и «b».

Рис.2.

Неизвестных два, значит, нужны и два уравнения. Иначе решение неоднозначно.

Соответственно дальше, ведётся поиск двух уравнений связывающих наши неизвестные.

Отклонение точек от прямой, обычно обзывают греческой буквой сигма, « σ».

Отклонение первой точки:

σ (1 )= y(1) – a x(1) - b

Отклонение второй точки:

σ (2 )= y(2) – a x(2) - b

и т.д.

Если не сильно забивать себе голову высокими материями, то первое уравнение очевидно, и следует из геометрических представлений.

Так как все сигмы распложены по разные стороны прямой, то часть из них отрицательная, а часть положительная, а равноудаленность точек предполагает, что сумма этих сигм должна быть равна нулю.

Итак, записываем:

Σσ (1…4 )= Σy(1…4) – a Σx(1…4) - b =0

Это уравнение получается немедленно, если вы предварительно не ангажированы методом наименьших квадратов (МНК).

Адепты же (МНК), приходят к этому уравнению, почёсывая правой пяткой левое ухо.

Что делают они.

Естественно, что сначала возводят сигму в квадрат.

У нас же среднеквадратическое отклонение.

σ (1 ) ^ 2 = (y(1) – a x(1) - b) ^ 2

σ (2 ) ^ 2 = (y(2) – a x(2) - b) ^ 2

и т.д.

Далее, точно также всё суммируют.

Σσ ^ 2 (1…4 )= (Σy(1…4) – a Σx(1…4) – b)^ 2

А затем, берут частные производные нашей сигмы по неизвестным а и b.

Я подозреваю, что не так много читающих, помнят, что это означает.

Попытаюсь подробнее.

Что значит частная производная?

Это нахождение зависимости, в данном случае нашей сигмы, не от неизвестной «х», а от неизвестной «а» или «b».

Т.о., у нас все другие изменения, кроме как изменения, допустим по «b», зафиксированы.

И смотрим, как «σ» изменяется от «b».

Рис.3.

Для чего это делается?

А чтобы приравнять нашу производную нулю.

Это стандартный прием с использованием дифференциального исчисления, поиск минимумов и максимумов.

Там где производная (или изменение) равна нулю, там и функция не изменяется,

это может быть: минимум, максимум или перегиб.

Следовательно, взяв от нашей суммы среднеквадратичных сигм частные производные и приравняв их нулю, мы и получим те два уравнения, из которых можно найти «а» и «b».

Дальше алгебра и правила дифференцирования.

У нас сложная функция. Во-первых, сама «сигма» это функция, во-вторых, она в квадрате.

Скорее всего, мало кто помнит, как дифференцируются сложные функции, поэтому сделаю это подробно, используя инвариантность дифференциала.

Сначала дифференцируем квадрат сигмы по самой сигме.

d (σ ^ 2) /dσ = 2σ ( Также как и , d (х^ 2)/ dх = 2х, так всем привычнее),

=> d (σ ^ 2) = 2σ* dσ

Далее дифференцируем σ по b, => dσ /db = -1

(σ= y – a x- b, в данном случае, «b» у нас неизвестная. Коэффициент перед b равен (-1).

Он и есть производная по b)

Итак, переписываем. => dσ = -1* db

Подставляем в предыдущую формулу:

d (σ ^ 2) = 2σ*( -1)* db

=> d (σ ^ 2) = -2σ* db

=> d (σ ^ 2)/ db = -2σ

Т.о., производную по «b» мы нашли. Осталось приравнять её нулю.

-2σ =0.

«-2» улетает, 0/(-2)=0

И мы получаем результат: σ = y– a x- b = 0

Это точно такое же уравнение, которое я сразу записал исходя из элементарных геометрических соображений в самом начале. Знаки суммы Σ, для простоты изложения я опустил.

Σσ (1…4 )= Σy(1…4) – a Σx(1…4) - b =0

Т.о., ученик 7 класса, не имея понятия о производных, исходя из здравого смысла и геометрических представлений, решил бы эту задачу в одну строчку.

А адепт МНК, половину дня пачкал бы бумагу и мозги, почёсывая правой пяткой левое ухо.

«Многие знания — многие печали».

Теперь нам нужно второе уравнение, связывающее «а» и «b».

И здесь пути методов МНК и равных площадей расходятся.

Сначала, я вновь погружусь в транс, войдя в состояние ученика 7кл.ср. школы, и напишу второе, простое и логичное уравнение, составляющее метод равных площадей.

Снова смотрим на рис.1.

Наши точки на графике соединены отрезками, и в совокупности, мы имеем ломаную линию.

Также как сумма всех сигм расположенных по разные стороны прямой должна быть равна нулю, так и площади, заключённые между нашими отрезками, вокруг прямой, при равноудалённости, должны быть равны нулю.

Выражаю это равенство алгебраически.

Sломаной(1…4 )= Sпрямой(1…4 ), или

Sломаной(1…4 ) - Sпрямой(1…4 ) = 0

Осталось вывести формулу площади под ломаной линией и формулу площади под прямой, которую связать с «а» и «b», и задача будет решена.

Это задачи 6-7кл.ср.школы.

Sломаной. Имеем точки: А В С Д Е.

Площадь под ними: (А+В)/2+( В + С)/2+( С + Д)/2+( Д + Е)/2= (А+Е)/2 +В+С+Д

Sпрямой. Имеем точки: у1, у4.

у1=а*х1 +в

у4=а*х4 +в

Sпрямой = (у4+у1)/2 * (х4-х1) => (а*х4 +в + а*х1 +в)/2* (х4-х1) =>

=> а/2(х4+х1)*(х4-х1) + в *(х4-х1)

Это всё.

Все значения, кроме «а» и «b», известны.

Осталось записать два уравнения с двумя неизвестными и примитивно решить их методом подстановки.

Итак, метод равных площадей. Два уравнения, (в нашем случае с прямой).

Σσ (1…4 )= Σy(1…4) – a Σx(1…4) - b =0

∫ σ (1…4 )= ((у1+у4)/2+у2+у3) - а/2(х4+х1)*(х4-х1) - в *(х4-х1)

Если же записать это для любого случая, в общем виде, то второе уравнение:

∫ σ (1…4 )dx= ∫ y(1…4) dx – a∫ x(1…4) dx - b∫ dx =0

Теперь выходим из семиклассного транса и возвращаемся к МНК.

Второе уравнение здесь ищут дифференцированием квадрата нашей сигмы по «а».

Сначала, то же самое, что и по «b»

d (σ ^ 2) /dσ = 2σ ( Также как и , d (х^ 2)/ dх = 2х, так всем привычнее),

=> d (σ ^ 2) = 2σ* dσ

Далее дифференцируем σ по а, => dσ /dа = -х

(σ= y – a x- b, в данном случае, «а» у нас неизвестная. Коэффициент перед «а» равен (-х).

Он и есть производная по «а»)

Итак, переписываем. => dσ = -х* dа

Подставляем в предыдущую формулу:

d (σ ^ 2) = 2σ*( -х)* dа

=> d (σ ^ 2) = -2σх* dа

=> d (σ ^ 2)/ dа = -2σх

Т.о., производную по «а» мы нашли. Осталось приравнять её нулю.

-2σх =0.

«-2» улетает, 0/(-2)=0

И мы получаем результат: σх = (y– a x- b)х = 0

Записываем это в общем виде, вспоминая, про Σ.

Σyх(1…4)- аΣх^2(1…4)- b Σх(1…4)=0

Это второе уравнение МНК, совсем не соответствует тому, что мы получили методом равных площадей.

∫ y(1…4) dx – a∫ x(1…4) dx - b∫ dx =0

И, понятно, что результаты по этим методам разойдутся.

В чью пользу мне пока сказать трудно.

Равенство площадей, на мой взгляд, логичнее.

Далее необходим эксперимент с реальными данными.

Так как все, затаив дыхание следят за кульбитами Газпрома, то его дивидендную историю и выберем в качестве подопытного кролика.

Эту историю я трансформировал в Zю-модель.

Рис.4.

Провёл к ней тренд и получил в exel формулу. Всё на графике.

Далее, посчитал то же самое по методу равных площадей. Нашёл формулу и нанёс на график.

Рис.5.

Разница существенная, и видимо, это «погрешность» наименьших квадратов.

Прошу любить и жаловать метод. Считается элементарно и идеально, вручную.

Осталось посмотреть, как разойдётся стоимость Газпрома, в одном случае и в другом.

Рис.6.

МНК =122р/а.

Метод равных площадей = 110р/а.

Замечу, что разница, видимо, это цена среднеквадратических удобств.

Такие дела.